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教学大纲

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《高等数学二》

日期:2009-01-12浏览次数:518

课程名称:高等数学(二)                Advanced Mathematics (3)
课程类别:必修         学时:150                         学分:8
主编姓名:汪桂姣       单位:数学系                      职称:副教授
主审姓名:周勤学       单位:数学系                      职称:教授
授课对象:本科生       专业:化、地、生、岭院各专业    年级:一年级
编写日期:2007年8月第2次修订)
一、课程目的与教学基本要求
    高等数学是理科各专业本科生的一门重要的基础课。其目的是使学生掌握基本的数学理论,为后继数学与专业课打好必要的基础。并着重在基本概念、基本理论与基本方法方面加强学习和训练,以培养、提高学生的逻辑思维能力,严谨思考的数学思维方法。通过学习本课程,要求学生初步具有应用所学数学知识去分析与解决在其它课程以及实际工作中所遇到的有关问题的能力。
   本课程的开设时间为一年,第一学期每周为6+1学时,第二学期每周为4+1学时,全年共150学时(其中“+1”为辅导、答疑时间,不计入学时)。
二、课程内容
     教学要求分三级:
     A(级)  牢固掌握,计算熟练,能较好地应用
     B(级)  一般掌握,计算正确,能简单应用
     C(级)  一般了解,会计算,知道应用
讲授内容与学时安排如下:
第一章  函数与极限  16学时)
   §1 函数            (2学时)
       函数概念                                                   A
       一些特殊类型的函数                                         A
       复合函数和反函数                                           A
       初等函数                                                   A
   §2 极限            (10学时)
       数列极限                                                   A
       收敛数列的性质与四则运算                                   A
       函数极限、单側极限                                         A
       函数极限的性质与运算法则                                   A
       极限存在的夹逼准则                                         A
       数列收敛的单调有界准则                                     C
       两个重要极限                                               A
       无穷小量与无穷大量                                         A
   无穷小量阶的比较                                           B
   §3 函数的连续性与间断点      (4学时)
       函数的连续性概念                                           A
       函数的间断点及分类                                         B
       初等函数的连续性                                           A
       闭区间上连续函数的性质                                     C
   重点:函数概念着重分段函数,函数的几何特性,极限的运算。
   难点:极限的“ε-N”,“ε-δ”等精确概念,某些未定式极限的计算。
第二章    导数与微分  10学时
§1导数概念                      (2学时)      
   导数与单侧导数                                             A
   可导性与连续性的关系                                       B
   §2 函数的四则运算求导法则           (1学时)                 A
   §3 反函数的导数,复合函数的求导法则 (2学时)                 A
§4高阶导数 与隐函数的导数          (2学时)                  A
§5由参数方程所确定的函数的导数     (1学时)                  A                                                                  
§6 函数的微分                       (2学时)                 A
重点:基本初等函数的导数公式,复合函数的求导法则。
难点:分段函数的导数,按定义求函数在一点的导数,由参数方程所确定
     的函数的高阶导数。
第三章  中值定理与导数的应用  14学时
§1 微分中值定理                         (2学时)
   洛尔(Rolle)定理                                            A
   拉格朗日(Lagrange)中值定理                                  A
   柯西(Cauchy)中值定理                                      B
   §2 洛必达(L’Hospital )法则                     (2学时)       A
§3 泰勒(Taylor)公式                         (2学时)      B
§4 函数的单调性与极值、最大值与最小值         (2学时)       A
   §5 曲线的凹凸性与拐点                        (2学时)      A
   §6 曲线的渐近线,函数作图                     (2学时)       B
   重点:三个中值定理,利用导数讨论函数的单调性与极值。
   难点:运用中值定理推理、论证。
第四章  一元函数积分学  20学时)
      此章为教材的第四章不定积分,第五章定积分,第六章定积分的应用)
   §1不定积分的概念,基本积分公式                (2学时)       A
   §2 不定积分的换元积分法,分部积分法        (4学时)       A
§3 定积分的概念与性质                      (2学时)       A
§4 原函数概念,积分上限函数的导数          (1学时)       B
§5 牛顿—莱布尼兹(Newton—Leibniz)公式        (1学时 )        A
   §6 定积分的换元积分法,分部积分法           (2学时)       A
   §7 定积分的应用(选讲)                     (4学时)       B
   §8 广义积分的概念与计算                     (2学时)       A
重点:积分的概念,基本积分公式,牛顿—莱布尼兹公式,换元积分法,
     分部积分法。
   难点:积分上限函数,换元积分法中变换的选择。
第五章  空间解析几何与向量代数  14学时)
§1 空间点的直角坐标,两点间的距离                     (1学时) A
§2 向量的概念与线性运算,向量在轴上的投影,向量的坐标(2学时) A
   §3 数量积,向量积,两向量相互垂直和平行的条件         (4学时) A
   §4 平面及其方程                 (2学时)A
   §5 空间直线及其方程             (2学时)                      A
§6 常见二次曲面的方程           (3学时)                      A
   球面、椭球面                                                A
   锥面、抛物面                                                B
双曲面                                                     C
   空间直线方程                                               C
   重点:向量代数,空间中的平面与直线的方程。
   难点:向量积,二次曲面的方程与图形。
第六章  多元函数的微分法及其应用   20学时)
§1 多元函数的概念          (4学时)                  A
多元函数的极限与连续                                B
§2 偏导数的概念与计算      (2学时)                  A
   高阶偏导数                                          B
§3 全微分                  (2学时)                   A
   连续性,偏导数存在,可微性的关系                    C
§4 复合函数的求导法则      (4学时)                   B
   隐函数的求导方法                                     B
   §5 偏导数的几何应用        (2学时)                   B
§6 方向导数与梯度          (2学时)                   A
§7 无条件极值,最大值与最小值             (2学时)            B
§8 条件极值,拉格朗日(Lagrange)乘数法    (2学时)           B
   重点:偏导数的概念与计算,复合函数微分法,二元函数的极值。
     难点:多元函数的极限,含抽象函数的复合函数的偏导数的计算。
第七章      重积分  14学时)        
   §1 二重积分的概念与性质     (2学时)                         B
   §2 二重积分的计算           (3学时)                         A
   §3 三重积分的概念与性质     (2学时)                         B
§4 三重积分的计算           (3学时)                         B
§5 重积分的应用 (选讲)    (4学时)                         B
   重点:重积分的计算。
难点:极坐标系,球面坐标系下计算重积分。
第八章      曲线积分与曲面积分  8学时)
   §1 第一型曲线积分的概念、性质与计算,曲线的弧长    (2学时)  B
   §2 第二型曲线积分的概念、性质与计算                (2学时)  B
   §3 格林公式、曲线积分与路径无关的条件              (4学时)  B
   重点:曲线积分的概念与计算,格林公式。
难点:格林公式的应用。
第九章      微分方程  12学时)
   §1 微分方程的基本概念         (1学时)       A
   §2 可分离变量方程             (1学时)       A
   §3 齐次方程                   (1学时)       B
   §4 一阶线性方程               (2学时)       A
   §5 可降阶的高阶方程           (2学时)       B
   §6 二阶线性微分方程解的结构   (1学时)       B
   §7 二阶常系数线性方程         (4学时)       A
   重点:可分离变量方程,一阶线性方程,二阶常系数线性方程 。
   难点:建立微分方程,y" = f (y,yˊ)型的解法
第十章      无穷级数  16学时)
   §1 数项级数的概念与基本性质       (2学时)              A
   §2 数项级数敛散性的判别法         (6学时)    
   正项级数比较判别法、达朗贝尔(D’Alembert)比值判别法   A
   交错级数的莱布尼兹(Leibniz)判别法                     A
       任意项级数的绝对收敛与条件收敛                         B
   §3 函数项级数的一般概念           (3学时)               B
   阿贝尔(Abel)定理                                     B
   幂级数的收敛半径、收敛域                               A
   §4 幂级数的运算                   (2学时)              C
   §5 泰勒级数,函数的幂级数展开     (3学时)              B
重点:数项级数敛散性判别法,幂级数的收敛半径、收敛域,函数的幂级
     数展开。
   难点:正项级数的比较判别法,函数的幂级数展开。
三、使用说明
   关于学时分配:两个学期除去军训,国庆节、五一节、元旦放假外,可用学时不足150学时,所以大纲按上课时数144学时分配。部分章节个别内容没有作安排,留有少量机动时间,各专业可根据实际情况酌情处理。另外,每周有一学时可以安排习题课或辅导、答疑。
使用教材: 高等数学 同济大学数学教研室主编   高等教育出版社 上下册 2002年 第六版
四、主要参考书目
      高等数学 (化学专业类) 华东师大数学系编  高等教育出版社
   高等数学 (第一、二册) 四川大学数学系编  高等教育出版社  1994年