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教学大纲

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《高等数学一》教学大纲

日期:2009-01-12浏览次数:1605

课程名称:高等数学 (一)       Advanced Mathematice (1)
课程类别:必修          学时:192             学分:10
主编姓名:王振堂        单位:数学系          职称:副教授
主审姓名:陈巧华        单位:数学系          职称:副教授
授课对象:本科生        专业:物理类各专业    年级:一年级
编写日期:2007年6月
一、课程目的与教学基本要求
    本课程是为物理类的物理学系、无线电电子学系、计算机科学系、大气科学系、城市与资源规划系各有关专业开设的一门必修基础课。它的任务是使学生掌握微积分的最基本知识,为学习后继的专业课程和今后进行科学研究打下较坚实的数学基础;结合数学知识的讲授,培养和提高学生的数学逻辑思维能力,运算能力和创造性思维能力。
    本课程要求学生能较熟练地掌握所讲授的基本数学理论与方法,具有较强的运算与解题能力。初步能应用所学到的知识去分析、解决在其它专业中所遇到的相关问题的能力。
    通过学习本课程,使学生能较深刻地理解下列基本概念:函数、极限、连续性、导数、不定积分、定积分、偏导数、重积分、曲线积分、曲面积分、级数、广义积分、含参变量积分等。
    能熟悉并掌握下列基本定理:极限与无穷小定理,闭区间上连续函数的性质,中值定理。
   能牢记导数与积分的基本公式,熟练运用求导法则、积分法则、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式等。
    能熟练掌握一阶微分方程的分离变量法与常数变易法,常系数线性微分方程的解法,空间中的平面、直线、二次曲面、空间曲线的方程与图形。
二、课程内容
    本课程内容包括一元函数和多元函数微积分、级数、常微分方程。讲授时间为二个学期,周学时都为6+1学时,教学总时数为224学时,其中有32学时为辅导课。
讲授内容与学时安排如下:
第一章   微积分的基本概念  28学时)
§1 实数、变量与函数   (3学时)
§2 函数的连续性       (3学时)
§3 序列极限           (4学时)
§4 函数极限           (4学时)
§5 微商的概念                              (3学时)
§6 复合函数与反函数的微商                  (4学时)
§7 微分、隐函数及参数方程确定的函数的微商  (3学时)
§8 高阶导数                                (2学时)
§9 定积分的概念                            (2学时)
重点:函数概念中的复合函数、分段函数,复合函数求导法则。
难点:极限定义及相关证明,参数方程确定的函数及隐函数的高阶导数。
第二章           微积分基本定理与积分的计算  16学时)
§1 微积分基本定理                  (2学时)
§2 不定积分                        (1学时)
§3 不定积分的换元法及分部积分法    (5学时)
§4 有理式的不定积分与有理化方法    (2学时)
§5 定积分的分部积分与换元法则      (3学时)
§6 定积分的应用、定积分的近似计算  (3学时)
重点:积分基本公式,换元积分法及分部积分法。
难点:变上限定积分及其导数。
第三章           微分中值定理与泰勒公式  16学时)
§1 微分中值定理                (3学时)
§2 柯西中值定理与洛必达法则    (3学时)
§3 泰勒公式                    (4学时)
§4 极值问题                    (3学时)
§5 函数的凸凹性与函数作图      (2学时)
§6 曲率                        (1学时)
重点:微分中值定理的含义,应用导数讨论函数的几何性态。
难点:求  型未定式极限中的等价无穷小替换。
第四章           向量代数与空间解析几何  12学时)
§1 向量代数                        (3学时)
§2 空间坐标                        (2学时)
§3 空间中平面与直线的方程          (3学时)
§4 二次曲面、空间曲线的一般概念    (4学时)
重点:应用坐标作向量运算,建立空间平面及直线的方程。
难点:空间曲线在坐标面上的投影及其方程。
第五章           多元函数微分学  22学时)
§1 多元函数的概念              (2学时)
§2 多元函数的极限              (2学时)
§3 多元函数的连续性            (2学时)
§4 偏导数与全微分               (4学时)
§5 复合函数与隐函数的微分法     (4学时)
§6 方向导数与梯度               (1学时)
§7 二元函数的泰勒公式           (2学时)
§8 隐函数存在定理               (2学时)
§9 极值问题                     (3学时)
重点:多元函数与一元函数微分学之间的相似之处及其实质性差别,复合函数
     微分法。
难点:隐函数微分法。
第六章           重积分  12学时)
§1 二重积分的概念与性质           (2学时)
§2 二重积分的计算                 (4学时)
§3 三重积分的概念与计算           (4学时)
§4 重积分的应用                   (2学时)
重点:化重积分为累次积分。
难点:用柱坐标、球坐标计算重积分。
第七章           曲线积分与曲面积分  24学时)
§1 第一型曲线积分                                (2学时)
§2 第二型曲线积分                                (3学时)
§3 格林公式、平面第二型曲线积分与路径无关的条件  (4学时)
§4 第一型曲面积分                                (3学时)
§5 第二型曲面积分                                (4学时)
§6 高斯公式与斯托克斯公式                        (4学时)
§7 场论初步                                      (4学时)
重点:第二型曲线积分与曲面积分的计算。
难点:场论中的有关概念及其计算。
第八章           常微分方程  16学时)
§1 基本概念                              (2学时)
§2 初等积分法                            (5学时)
§3 微分方程解的存在唯一性定理            (2学时)
§4 高阶线性微分方程通解的结构            (2学时)
§5 二阶线性常系数微分方程                (2学时)
§6 用常数变易法求解二阶线性非齐次方程    (3学时)
重点:变量可分离,一阶线性方程及二阶常系数线性方程的解法。
难点:可化为变量可分离方程的方程,全微分方程与积分因子。
第九章           无穷级数  16学时)
§1 柯西收敛原理          (2学时)
§2 正项级数的收敛判别法  (2学时)
§3 任意项级数            (2学时)
§4 函数项级数            (4学时)
§5 幂级数                (3学时)
§6 泰勒级数              (3学时)
重点:级数收敛的概念,正项级数判敛法,幂级数的收敛半径与收敛域,将函
     数展开为幂级数。
难点:幂级数在收敛区间上的性质及其应用。
第十章           广义积分与含参变量的积分  12学时)
§1 广义积分              (4学时)
§2 含参变量的正常积分    (2学时)
§3 含参变量的广义积分    (6学时)
重点:被积函数为非负函数的广义积分判敛法。
难点:含参变量广义积分的收剑性。
第十一章   傅氏级数与傅氏积分  8学时)
§1 傅氏级数                      (6学时)
§2 贝塞尔不等式与帕斯瓦尔等式    (2学时)
重点:求函数的傅氏级数。
难点:函数的傅氏级数的收敛性。
三、使用说明
   1、学时分配为授课时数,不含辅导课时间,每周有一学时可以安排习题课或辅导、答疑
2、授课总时数安排了182学时,另有10学时为机动时间,教师可视具体情况灵活掌握。
使用教材: 高等数学(上下册) 李忠 周建莹 编著
四、主要参考书目
子  高等数学简明教程(一、二、三册) 李忠 周建莹 编著
   北京大学出版社,1999年8月第一版
   数学分析简明教程(上、下册) 邓东皋 尹小玲 编著
   高等教育出版社,1999年6月第一版