测度与概率简介(区景祺)

发布人:高级管理员 发布日期:2015-01-10

测度论是现代数学的一个重要分支,它的奠基人是法国数学家Lebesgue(1875-1941)。在他的老师Borel关于容量研究的影响下,他于1902年将长度和面积的概念推广到Borel集的Lebesgue测度和定义了可测函数关于Lebesgue测度的积分。他关于累次积分计算重积分的结果后来被Fubini完善为一般的定理。后来Radon-Nikodym给出了有号测度为不定积分的充要条件。到20世纪30年代,测度与积分理论已趋于成熟,而且在概率论,调和分析和泛函分析得到广泛的应用。1933年,Kolmogorov用测度论的方法建立了概率论的公理化体系,为现代概率论奠定了数学基础,其中非常重要的条件期望的概念就奠基于Radon-Nikodym定理。近几十年来,无限维空间的测度和泛函积分成为研究量子场论的重要工具。

测度论一方面可以视为实变函数论中的Lebesgue积分论的一般化,另一方面也可以视为现代概率论的数学建模。现代概率论的各个分支,特别是随机过程论,无不以测度论为基础;数理统计的很多基本概念和问题的严格阐述和解决,也离不开测度论。因此,在概率统计各专业必须学习测度论以作为进一步深入学习各门专业课程的理论基础。

本课程的目的是使学生学习和掌握测度论的基本知识及概率论的严格的数学基础,以新的高度认识先前学过的初等的“概率论与数理统计”,为进一步学习“随机过程论”,现代的“概率论与数理统计”打下扎实的理论基础。

 

本课程基本内容如下:

一,测度与积分理论基础

1 引论

2 域, 域和测度

3 测度的扩张

4 Lebesgue-Stieltjes 测度和分布函数

5 可测函数和积分

6 积分号下取极限的各种定理

7 Lebesgue积分与Riemann积分的比较

二,测度与积分理论的进一步结果

1 Radon-Nikodym定理和相关结果

2* 对实分析的应用

3 空间

4 可测函数列的各种收敛性

5 乘积测度与Fubini定理

6 *无限乘积空间的测度

7* 测度的弱收敛

 

教材:

[1]Ash,R.B. (2000), Probability and measure theory.

参考书:

[2] 中山大学“测度与概率基础”编写组(1983),测度与概率基础,,广东科技出版社。

[3] Halmos, P.R.(1950), Measure theory. Princeton.

 

(区景祺编写 2004-10-18)